一：半正定矩阵

设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^T^Ax≥0，就称A为半正定矩阵。

在这里插入图片描述

等价条件：

1. A是半正定的；

2. A的所有主子式均为非负的；

3. A的特征值均为非负的；

4. 存在n阶实矩阵C，使A=C^T^C；

5. 存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=B^T^B。

注：顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

补充： 1）AA^T^一定是半正定矩阵

证明：根据上面的定义出发，有如下，

X^T^(AA^T^) X= (A^T^X)^T^(A^T^X) = ||A^T^X||^2^ >=0

所以得证。

2）tr(AA^T^),其中A为n*1的矩阵

tr(AA^T^) = A^T^A,其中A为n*1的矩阵。

举个例子： 假设矩阵A = (1 2 3)^T^,A^T^=(1 2 3)，可以算出tr(AA^T^)=A^T^A

二：正定矩阵

A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有x^T^Ax>0，其中x^T^ 表示x的转置，就称A正定矩阵.

在这里插入图片描述

等价条件：

1. A的一切顺序主子式均为正；

2. A 的一切主子式均为正；

3. A 的特征值均为正；

4. 在实可逆矩阵C，使A=C^T^C；

5. 存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B^T^B。

判别对称矩阵A的正定性有两种方法： 1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。 2.计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。